A probabilidade é a área da matemática que investiga e determina as chances ou possibilidades de um evento ocorrer, como por exemplo, a chance de alguma pessoa ganhar na mega sena. Quando queremos determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, teremos que calcular a probabilidade da união desses dois eventos. É muito importante lembrar que, na lógica matemática, a palavra “ou” quer dizer união.
Vamos obter a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.
Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, pela teoria de conjuntos temos que:
Onde,
n(A) é o número de elementos do evento A.
n(B) é o número de elementos do evento B.
n(A ∩ B) é o número de elementos de A intersecção com B.
n(A U B) é o número de elementos de A união com B.
Dividindo todos os membros da igualdade acima por n(S), que corresponde ao número de elementos do espaço amostral, obtemos:
Mas,
Assim, teremos:
Que é a fórmula para o cálculo da probabilidade da união de dois eventos.
Vejamos um exemplo para melhor compreensão da fórmula.
Exemplo 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?
Solução: Observe que o problema consiste em determinar a probabilidade de ocorrer um evento ou outro, ou seja, a probabilidade da união de dois eventos. Primeiro passo para resolução desse tipo de problema é determinar os eventos A e B e o espaço amostral. O espaço amostral consiste no conjunto de todos os resultados possíveis. Assim, temos que:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → Uma vez que no lançamento de um dado pode sair qualquer número entre 1 e 6.
Vamos determinar os eventos A e B.
Evento A: sair um número par.
A = {2, 4, 6}
Evento B: sair um número maior que 2.
B = {3, 4, 5, 6}
Precisamos, também, determinar o conjunto A ∩ B, que consiste nos elementos que são comuns aos dois conjuntos. Assim, teremos:
A ∩ B = {4, 6}
Feitas as identificações dos conjuntos, podemos utilizar a fórmula da probabilidade da união para chegar à solução.
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Se os eventos A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, não há possibilidade deles ocorrerem simultaneamente, a probabilidade de A união com B será dada por:
Pois P(A∩B) = ø.
Exemplo 2. Considere o experimento: lançamento de um dado. Qual a probabilidade de sair um número maior que 5 ou um número ímpar?
Solução: Temos que:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Chamaremos de A o evento: sair um número maior que 5.
A = {6}
Chamaremos de B o evento: sair um número ímpar.
B = {1, 3, 5}
Note que A∩B = ø.
Assim, teremos:
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PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS Quando queremos determinar a possibilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, teremos que calcular a probabilidade da união desses dois eventos. É muito importante lembrar que, na lógica matemática, a palavra “ou” quer dizer união. Dados dois eventos, A e B, de um espaço amostral S, pela teoria de conjuntos temos que P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Onde, n(A) é o número de elementos do evento A. n(B) é o número de elementos do evento B. n(A ∩ B) é o número de elementos de A intersecção com B. n(A U B) é o número de elementos de A união com B. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS EXEMPLO 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2? PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS EXEMPLO 1. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de sair um número par ou maior que 2?