Podemos resolver equações de primeiro grau com duas incógnitas se soubermos o valor de uma variável. Caso contrário, se não soubermos o valor de uma variável, podemos concluir que a equação possui um número infinito de soluções. A seguir, veremos um resumo do processo usado para resolver exercícios de equações de primeiro grau com duas
incógnitas. Além disso, veremos vários exercícios resolvidos para dominar o processo. ALGEBRA
Relevante para…
Resolver exercícios de equações de primeiro grau com duas incógnitas.
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ALGEBRA
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Para que uma equação seja de primeiro grau, todas as suas variáveis devem ter uma potência máxima de 1. Nesse caso, as duas incógnitas devem ter uma potência de 1. Por exemplo, as equações $latex 3x+2y=5$ e $latex 3y=2x-4$ são equações de primeiro grau com duas incógnitas.
Para resolver esses tipos de equações, podemos seguir os seguintes passos:
Passo 1: Substituímos o valor conhecido de uma variável. Se não tivermos o valor de uma variável, a equação terá automaticamente soluções infinitas.
Passo 2: Simplificar: removemos os sinais de agrupamento como parênteses, removemos as frações e simplificamos os termos semelhantes.
Passo 3: Resolva para a variável. Movemos todas as variáveis para um lado da equação e as constantes para o outro lado.
Passo 4: Resolvemos usando divisão ou multiplicação.
EXERCÍCIO 1
Se o valor de y for igual a 5, encontre o valor de x na equação $latex 3x-4y=10$.
Solução
Passo 1: Substituir: temos que $latex y=5$, então, substituímos:
$latex 3x-4y=10$
$latex 3x-4(5)=10$
$latex 3x-20=10$
Passo 2: Simplifique: não temos nada para simplificar:
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 20 a ambos os lados:
$latex 3x-20=10$
$latex 3x-20+20=10+20$
$latex 3x=30$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 3:
$$\frac{3x}{3}=\frac{30}{3}$$
$latex x=10$
EXERCÍCIO 2
Temos que o valor de y é igual a -3, resolva a equação $latex -3x+5y=-6$ para x.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex y = -3$, então substituímos:
$latex -3x+5y=-6$
$latex -3x+5(-3)=-6$
$latex -3x-15=-6$
Passo 2: Simplifique: não temos termos semelhantes.
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 15 a ambos os lados:
$latex -3x-15+15=-6+15$
$latex -3x=9$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -3:
$$\frac{-3x}{-3}=\frac{9}{-3}$$
$latex x=-3$
EXERCÍCIO 3
Se o valor de x for igual a -2, resolva a equação $latex 4y+2(2y+3)=3x-4$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex x = -2$, então substituímos:
$latex 4y+2(2y+3)=3(-2)-4$
$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$
Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 4y+2(2y+3)=-6-4$
$latex 4y+4y+6=-10$
$latex 8y+6=-10$
Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 6 de ambos os lados:
$latex 8y+6-6=-10-6$
$latex 8y=-16$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 8:
$$\frac{8y}{8}=\frac{16}{-8}$$
$latex y=-2$
EXERCÍCIO 4
Temos que o valor de x é igual a 5, resolva a equação $latex 3x+2(-4x+5)=3y+6$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: substituímos $latex x=5$ na equação:
$latex 3x+2(-4x+5)=3y+6$
$$3(5)+2(-4(5)+5)=3y+6$$
$latex 15+2(-20+5)=3y+6$
Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 15+2(-20+5)=3y+6$
$latex 15+2(-15)=3y+6$
$latex 15-30=3y+6$
$latex -15=3y+6$
Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 6 de ambos os lados:
$latex -15-6=3y+6-6$
$latex -21=3y$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por 3:
$$\frac{-21}{3}=\frac{3y}{3}$$
$latex -7=y$
EXERCÍCIO 5
Se o valor de z for igual a 5, resolva a equação $latex 4y+2z=2(3y+10)+z-11$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: substituímos $latex z=5$ na equação:
$$4y+2(5)=2(3y+10)+5-11$$
$$4y+10=2(3y+10)+5-11$$
Passo 2: Simplificar: expandimos os parênteses e combinamos termos semelhantes:
$latex 4y+10=6y+20+5-11$
$latex 4y+10=6y+14$
Passo 3: Resolva para a variável: subtraímos 10 e 6 e de ambos os lados:
$latex 4y+10-10=6y+14-10$
$latex 4y=6y+4$
$latex 4y-6y=6y+4-6y$
$latex -2y=4$
Passo 4: Resolvemos: Dividimos ambos os lados por -2:
$$\frac{-2y}{-2}=\frac{4}{-2}$$
$latex y=-2$
EXERCÍCIO 6
Se o valor de y for igual a -3, resolva a equação $latex \frac{y+1}{2}+2x=2(2y+6)+x+2$ para x.
Solução
Passo 1: Substituir: temos $latex y=-3$, então substituímos:
$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(2(-3)+6)+x+2$$
$$\frac{-3+1}{2}+2x=2(-6+6)+x+2$$
Passo 2: Simplificar: combinamos termos semelhantes e simplificamos:
$$\frac{-2}{2}+2x=2(0)+x+2$$
$latex -1+2x=x+2$
Passo 3: Resolva para a variável: adicionamos 1 e subtraímos x de ambos os lados:
$latex -1+2x+1=x+2+1$
$latex 2x=x+3$
$latex 2x-x=x+3-x$
$latex x=3$
Passo 4: Resolvemos: não precisamos mais dividir:
$latex x=3$
EXERCÍCIO 7
Resolva a equação $latex 2x+2y=3x+10$ para y.
Solução
Passo 1: Substituir: neste caso não temos nenhum valor dado, então automaticamente, a equação tem um número infinito de soluções. Por exemplo, suponha que temos $latex x = 0$, então teríamos:
$latex 2x+2y=3x+10$
$latex 2(0)+2y=3(0)+10$
$latex 2y=10$
$latex y=5$
Se agora temos $latex x=1$:
$latex 2x+2y=3x+10$
$latex 2(1)+2y=3(1)+10$
$latex 2+2y=3+10$
$latex 2+2y=13$
$latex 2y=15$
$latex y=15/2$
Poderíamos continuar com valores diferentes e cada vez obteríamos resultados diferentes, portanto, por não ter um valor especificado de uma variável, a equação tem infinitas soluções.
Você completou os exercícios!
Se temos x = 1, qual é o valor de y em $latex 3(2x+y)+4=2x-5y$?
Escreva a resposta na caixa.
y=
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