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Questão 104 da prova azul do segundo dia do Enem 2017 Segunda Aplicação
O debate a respeito da natureza da luz perdurou por séculos, oscilando entre a teoria corpuscular e a teoria ondulatória. No início do século XIX, Thomas Young, com a finalidade de auxiliar na discussão, realizou o experimento aprensentando de forma simplificada na figura. Nele, um feixe de luz monocromático passa por dois anteparos com fendas muito pequenas. No primeiro anteparo há uma fenda e no segundo, duas fendas. Após passar pelo segundo conjunto de fendas, a luz forma um padrão com franjas claras e escuras.
Com esse experimento, Young forneceu fortes argumentos para uma interpretação a respeito da
natureza da luz, baseada em uma teoria
- corpuscular, justificada pelo fato de, no experimento, a luz sofrer dispersão e refração.
- corpuscular, justificada pelo fato de, no experimento, a luz sofrer dispersão e reflexão.
- ondulatória, justificada pelo fato de, no experimento, a luz sofrer difração e polarização.
- ondulatória, justificada pelo fato de, no experimento, a luz sofrer interferência e reflexão.
- ondulatória, justificada pelo fato de, no experimento, a luz sofrer difração e interferência.
Gabarito da questão
Opção E
Assunto
Fenômenos Ondulatórios
Ondas
Teoria
O experimento de Young
O experimento de Young é o seguinte: você coloca um laser atrás de uma fenda, passando depois por dois buraquinhos bem pequenos, que vamos chamar de S 1 e S 2 e atingindo sua parede.
A imagem que você vai ver são franjas coloridas e escuras alternadas, algo parecido com isso:
Onde eu escolhi luz vermelha porque fica muito mais irado (prevejo flamenguistas curtindo... pior que sou vascaíno haha).
Onde vão estar as franjas brilhantes?
As fendas S 1 e S 2 agem como duas fontes luminosas cujas distâncias a diversos pontos do anteparo são diferentes, causando diferença de fase.
Olhe para a figura abaixo, onde a distância entre as fendas e a parede R é muito maior que a distância entre as duas fendas d.
Como d ≪ R, podemos dizer que r 1 e r 2 são aproximadamente paralelas.
As duas ondas vão percorrer uma distância diferente, chegando na parede fora de fase. De acordo com a figura acima, essa diferença de caminho ótico vai ser dada por:
r 2 - r 1 = d s e n ( θ )
Os pontos de interferência construtiva e destrutiva são dados por
A figura na sua parede é formada pela alternância destes pontos de interferência construtiva e destrutiva. Chamamos essa imagem de Franjas de Interferência, representada abaixo.
Existe um limite para o tamanho da nossa figura? Sim!
A medida que θ se aproxima de 90 °, a luz vai incidindo cada vez mais longe do centro, até que pra θ = 90 ° a luz não atingiria mais o anteparo! Então a última franja que aparece corresponde à θ ≈ 90 °.
Distância angular entre máximos e mínimos
E se vier uma questão na prova querendo a distância entre duas franjas de interferência?
Primeiro, vamos ficar calmos. O ângulo das franjas em relação à franja central é dado pelas condições de interferência construtiva e destrutiva (quadradinho amarelo lá em cima!)
Mas e o ângulo entre duas franjas quaisquer? Acontece que, para ângulos bem pequenos, podemos aproximar as funções trigonométricas.
sen ( θ ) ≅ θ ; cos θ ≅ 1
Assim, para franjas claras e franjas escuras, temos:
θ c l a r a ≅ m i λ d
θ e s c u r a ≅ m i + 1 2 λ d
E o ângulo entre duas franjas escuras ou duas franjas claras vai ser dado por:
Δ θ ≅ m 2 - m 1 λ d
Para máximos ou mínimos adjacentes, m 2 = m 1 + 1, e ambas as fórmulas se reduzem a:
Δ θ ≅ λ d
“Que verdadeiro presente dos deuses! Quando poderei usufruir de tal presente?”
Bem, aí as vezes o exercício/prova/professor vai te dizer. Outras vezes, ninguém vai te dizer. Na dúvida, use sem medo, pois muitas vezes o exercício já considera que você vai usar.
Distância entre máximos e mínimos
Ok, a prova pode não pedir exatamente ângulos, e sim a diferença das alturas no anteparo. Vamos ver como podemos calcular ela.
A distância y de uma franja para o centro pode ser encontrada usando a tangente do ângulo.
Como a gente considera d ≪ R os raios r 1 e r 2 são considerados paralelos. Se traçarmos uma linha reta paralela a r 1 e r 2 partindo do ponto médio de S 1 S 2 ¯ , teremos o triângulo azul acima.
Dele, podemos tirar que:
tan θ = y R
Porém, novamente nosso presente divino irá nos ajudar! Pois, para pequenos ângulos:
tan ( θ ) = sen θ cos θ ≅ sen θ
Substituindo nas condições de máximo, temos que:
y m á x = R m λ d
Substituindo nas de mínimo, chegamos a:
y m í n = R m + 1 2 λ d
Com isso, podemos calcular a distância entre 2 máximos ou 2 mínimos quaisquer subtraindo suas distâncias até o centro da figura.
Para máximos ou mínimos adjacentes, a fórmula vai ficar da seguinte forma:
Δ y = R λ d
Ou seja, a distância entre as franjas brilhantes e a distância entre as franjas escuras é aproximadamente constante.
O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?
Esse brilho que a gente vê em cada ponto da figura de interferência não é nada mais que o reflexo da intensidade do seu campo elétrico!
No meio de cada franja brilhante, sabemos que a interferência é construtiva. No meio de cada franja escura, sabemos que a interferência é destrutiva.
Mas de uma franja clara pra uma franja escura o brilho forma um degradê: ele vai variando aos poucos do claro pro escuro. Como saber o quão brilhante vai ser um ponto qualquer na minha parede?
Como já falamos, esse brilho é a intensidade da luz. Ela varia continuamente ao longo da figura de interferência, formando um gráfico assim:
Em um ponto qualquer do anteparo, essa intensidade vai seguir a seguinte fórmula:
I p = 4 I 0 cos 2 ϕ 2
Onde:
- I 0 é a intensidade da luz incidente no sistema de dupla fenda.
- ϕ é a diferença de fase resultante da diferença de caminho ótico das duas ondas luminosas, dada por:
ϕ = 2 π d sen θ λ
Note que nos pontos onde a intensidade é a maior possível (que são as nossas franjas brilhantes), ela é quatro vezes maior que a da luz incidente ( 4 I 0 ).
Esses pontos correspondem a nossa condição de que d sen ( θ ) = m λ.
Nesse caso, a diferença de fase ϕ vai ser um múltiplo inteiro de 2 π, fazendo o cosseno valer 1 na nossa expressão (que é o maior valor possível).
ϕ = m ∙ 2 π = 2 π d sen θ λ
cos 2 ϕ 2 = cos 2 m π = 1
m λ = d sen θ
Além disso, os pontos para a intensidade zero são aqueles nos quais ϕ é um múltiplo inteiro ímpar de π, fazendo o coseno valer zero.
ϕ = 2 m + 1 ∙ π = 2 π d sen θ λ
cos 2 ϕ 2 = cos 2 m + 1 2 π = 0
m + 1 2 λ = d sen θ
Para ângulos pequenos, sen ( θ ) ≅ θ e tan ( θ ) ≅ sen ( θ ) . Podemos reproduzir a discussão acima usando a distância dos pontos da figura em relação ao centro, ao invés do ângulo.
tan ( θ ) = y R ≅ sen ( θ )
Onde R é a distância das fendas ao anteparo. Substituindo na diferença de fase:
ϕ = 2 π . d . y R . λ
E isso é tudo, amigos!
Ah, só mais uma coisa!
Em alguns lugares, você pode encontrar a fórmula escrita dessa forma:
I P = I cos 2 ϕ 2
Neste caso, I é a intensidade da franja brilhante central da figura de interferência!
A intensidade nesse ponto é I = 4 I 0 , e aí as duas fórmulas são iguais.
O que acontece se colocarmos nosso brinquedo na água?
As suas provas ou listas de exercício podem querer apimentar um pouco a relação, e colocar todo o experimento de Young dentro da água (ou qualquer outro meio, tipo óleo, refrigerante, sei lá). Nesse caso, o que vai mudar?
Quando a luz se propaga em diferentes meios, ela assume velocidades diferentes. Ela é dada por:
λ f = v
Contudo ela permanece com a mesma frequência e por isso o comprimento de onda tem que variar com a velocidade.
O que mede o quanto a velocidade varia é o índice de refração do meio, que é dado pela razão entre a velocidade da luz no vácuo e a velocidade da luz naquele meio.
n m e i o = c v
Vamos juntar as duas equações e ver como o comprimento de onda muda:
n m e i o = c v = λ 0 f 0 λ f 0 = λ 0 λ
λ = λ 0 n m e i o
Isso significa que sempre que usarmos as condições de interferência, usaremos esse comprimento de onda λ, ao invés de λ 0 como fazíamos antes.
E aí? Bastante coisa né? Por isso mesmo que tem um montão de exercício aqui pra você! Simbora o/
Distância entre máximos e mínimos
O quão brilhante são as luzes que vejo lá ao longe?
O que acontece se colocarmos nosso brinquedo na água?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 101-14, modificado.
Uma luz verde monocromática com um comprimento de onda de 550 n m é usada para iluminar duas fendas estreitas paralelas separadas por uma distância de 7,7 μ m.
Calcule o desvio angular (ângulo θ) da franja clara de terceira ordem ( m = 3) em graus.
Passo 1
Primeiro, vamos lembrar qual a condição para que a franja de interferência seja clara (ou seja, a interferência seja construtiva):
d sen ( θ ) = m λ
m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , …
Porém, como queremos a de terceira ordem ( m = 3 ), temos:
d sen ( θ ) = 3 λ
Passo 2
Agora, para achar θ , nós invertemos a equação:
sen θ = 3 λ d
Substituindo os valores dados pelo problema ( d = 7,7 μ m e λ = 550 n m = 0,55 μ m ), temos que:
sen ( θ ) = 3.0,55 7,7 ≅ 0,214
Agora, nós fazemos a inversa do seno:
θ = sen - 1 ( 0,214 ) ≅ 0,216 r a d
Passo 3
Por fim, passando para graus com uma regrinha de 3, ficamos com:
θ = 180.0,216 π ≅ 12,38 °
Resposta
O desvio angular da franja clara de terceira ordem é de 12,38 °.
Exercício Resolvido #2
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-17, modificado
Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( λ = 589 n m ) com uma separação angular de 3,5 ∙ 10 - 3 r a d. Para que comprimento de onda a separação angular é 10% maior?
Passo 1
Primeiro, vamos lembrar das condições de máximo para o sistema de dupla fenda.
d sen ( θ ) = m λ
m = 0 , ± 1 , ± 2 , ± 3 , …
Porém, como a separação angular é pequena, vamos usar a aproximação :
sen ( θ ) ≅ θ
Com isso, a separação angular entre dois máximos adjacentes é dada por:
Δ θ ≅ λ d
Passo 2
Seja λ ' o comprimento de onda que faz com que a separação angular seja 10% maior. Neste caso:
λ ' d = Δ θ ' = 1,1 Δ θ = 1,1 λ d
Cortando d dos dois lados, ficamos com:
λ ' = 1,1 λ = 1,1.589 = 647,9 n m
Resposta
O comprimento de onda que aumenta em 10% a separação angular nesse sistema de dupla fenda é λ ' = 647,9 n m.
Exercício Resolvido #3
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-20, modificado.
No experimento de dupla fenda da Fig.35-10, o ângulo θ é 20 °, a distância entre as fendas é 4,24 μ m e o comprimento de onda é λ = 500 n m.
- Que múltiplo de λ corresponde à diferença de fase entre as ondas associadas aos raios r 1 e r 2 ao chegarem ao ponto P da tela distante?
- Qual é a diferença de fase em radianos?
- Determine a posição do ponto P, indicando o máximo ou mínimo em que se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais se encontra.
Passo 1
a)
Primeiro, lembremos que a diferença de fase entre as duas ondas se dá pela diferença de caminho. Assim, em múltiplos de λ , temos uma diferença de fase de:
Δ ϕ m u l t i p l o s = r 2 - r 1 λ
Passo 2
Para o experimento de dupla fenda, sabemos que:
r 2 - r 1 = d sen ( θ )
Logo, a diferença de fase vai ser:
Δ ϕ m u l t i p l o s = d sen θ λ
Lembrando que θ = 20 ° , λ = 500 n m = 0,5 μ m e que d = 4,24 μ m , a diferença de fase vai ser, em múltiplos de λ :
Δ ϕ m u l t i p l o s = 4,24 . sen 20 ° 0,5 = 2,9
Passo 3
b)
Para acharmos a diferença de fase em radianos, vamos fazer o seguinte raciocínio.
Quando a diferença de fase de duas ondas é λ , isso equivale a uma diferença de fases de 2 π r a d .
Logo, a diferença de fase em radianos vai ser a diferença de fases em múltiplos de λ multiplicado por 2 π r a d
Δ ϕ = Δ ϕ m u l t i p l o s . 2 π = 2,9.2 π
Δ ϕ = 18,2 r a d
Passo 4
c)
Para achar a posição do ponto P , temos que nos lembrar do seguinte:
Interferência construtiva se dá quando a diferença de fase é um múltiplo inteiro do comprimento de onda.
Ou seja, os máximos mais próximos do ponto P correspondem a diferenças de fase de 2 λ e 3 λ .
Interferência destrutiva se dá quando a diferença de fase é um múltiplo fracionário do comprimento de onda. Ou seja, os mínimos mais próximos do ponto P correspondem a diferenças de fase de 2,5 λ ( 2 + 1 2 λ = 5 2 λ ) e 3,5 λ ( 3 + 1 2 λ = 7 2 λ ).
Assim, o nosso ponto se encontra entre o 3º mínimo ( 5 2 λ ) e o 4º máximo ( 3 λ ) de interferência (lembre que os primeiros correspondem a m = 0 ).
Resposta
a)
A diferença de fases corresponde a 2,9 λ.
b)
A diferença de fases é igual a 18,2 r a d.
c)
O ponto P se encontra entre o 3º mínimo ( diferença de fase de 5 2 λ ) e o 4º máximo (diferença de fase de 3 λ ) de interferência.
Exercício Resolvido #4
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.23, modificado.
Duas fendas distantes 0,260 m m uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700 m de uma tela são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 n m.
Qual é a distância sobre a tela entre o centro da franja brilhante central e a primeira franja escura?
Passo 1
O problema nos dá a distância entre as fendas d , a distância das fendas para a tela R e o comprimento de onda λ .
Ele nos pede para calcular a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o primeiro mínimo.
Sabemos que os mínimos de interferência são referentes às franjas escuras, onde há interferência destrutiva. Esses pontos são dados por:
y m = R λ d m + 1 2
Passo 2
y m = R λ d m + 1 2
Onde:
λ = 660 n m = 6,6 × 10 - 7 m ;
d = 0,26 m m = 2,6 × 10 - 4 m ;
R = 0,7 m ;
Como o problema nos pede a posição referente ao primeiro mínimo, isso significa que m = 0 . Assim:
m = 0 → m + 1 2 = 1 2
Logo:
y 0 = 0,7 × 6,6 × 10 - 7 × 1 2 2,6 × 10 - 4
y 0 = 0,00088 m = 0,88 m m
Resposta
Exercício Resolvido #5
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 109-112.
A segunda franja escura em uma figura de interferência de dupla fenda está a 1,2 c m do máximo central. A distância entre as fendas é igual a 800 comprimentos de onda da luz monocromática que incide (perpendicularmente) nas fendas.
Qual é a distância entre o plano das fendas e a tela de observação?
Passo 1
Primeiro, vamos lembrar que franjas escuras correspondem a interferência destrutiva.
Sabemos que nesse caso, para pequenos ângulos, vale a seguinte aproximação:
y m í n = R m + 1 2 λ d
E o enunciado nos algumas informações.
A distância entre as fendas d = 800 λ ;
A distância da franja ao máximo central, y m í n = 1,2 c m ;
A franja é a segunda franja escura, m = 1 (a primeira é m = 0 ).
Ele nos pede pra calcular R . Vamos lá!
Passo 2
Substituindo na fórmula, temos:
1,2 = R 1 + 1 2 λ 800 λ = R 3 2.800 = 3 R 1600
Invertendo a fórmula, temos:
R = 1600.1,2 3 = 640 c m = 6,4 m
Resposta
A distância entre o plano das fendas e a tela de observação é de 6,4 m.
Exercício Resolvido #6
PUC-RIO, Física 4, Prova 1, 2013.2, modificado.
Coloque F de falso ou V de verdadeiro na afirmação abaixo e justifique a opção.
( ) Se colocarmos o dispositivo de Young (originalmente na água) imerso no ar, as franjas brilhantes se tornarão mais próximas.
Passo 1
A afirmação é FALSA, pois as franjas brilhantes se tornarão mais distantes.
De acordo com o experimento de Young no ar, temos as relações que seguem.
Para franjas claras:
d . sen θ = m . λ → θ = m . λ d
Onde d é a distância entre as fendas. Lembre-se que para ângulos pequenos, sin θ ≈ θ .
A distância angular entre duas franjas adjacentes é dada por:
Δ θ = θ 2 - θ 1 ≅ sen θ 2 - sen θ 1
Δ θ = m 2 λ 0 d - m 1 λ 0 d = m 1 + 1 λ 0 d - m 1 λ 0 d = λ 0 d
Passo 2
Agora, vamos passar esse sistema pra outro meio.
Lembrando que o comprimento de onda depende do meio, pela relação:
λ n = λ n
Onde λ é o comprimento da luz no vácuo e λ n é o comprimento de onda da luz em um meio cujo índice de refração é n .
Logo, a distância angular em outro meio é dada por:
Δ θ ' = Δ θ n m e i o
Como n á g u a > n a r ≅ 1 , temos Δ θ ' < Δ θ .
Desse modo, temos que as franjas ficarão mais distantes se o experimento for feito no ar!
Resposta
Exercício Resolvido #7
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 102-18.
Um sistema de dupla fenda produz franjas de interferência para a luz do sódio ( λ = 589 n m) separadas por 0,20 °.
Qual é a separação das franjas quando o sistema é imerso em água ( n = 1,33)?
Passo 1
Vimos que quando a luz passa de um meio para outro, sua frequência continua a mesma embora sua velocidade e seu comprimento de onda variem.
Essa variação é dada pelo índice de refração do meio:
n m e i o = c v = λ 0 λ
λ = λ 0 n m e i o
Imergir o sistema em água vai alterar o comprimento de onda da luz, alterando a separação das franjas.
Passo 2
As franjas de interferência para duas fendas pontuais são dadas por:
d sen θ = m λ
Para duas franjas consecutivas: m 2 = m 1 + 1 . No ar, teremos:
sen θ 1 = m 1 λ 0 d
sen θ 2 = m 2 λ 0 d = m 1 λ 0 d + λ 0 d
sen θ 2 - sen θ 1 = λ 0 d
Fazendo a aproximação para pequenos ângulos:
θ ≅ sen θ
E a separação das franjas fica dada por:
θ 2 - θ 1 = Δ θ ≅ λ 0 d
Passo 3
Por fim, como vimos antes, a imersão em água afeta o comprimento de onda, e a nova separação vai ser dada por:
Δ θ ' ≅ λ d = λ 0 d ∙ n m e i o = Δ θ n m e i o
Sabemos que a separação angular original é dada por Δ θ ≅ 0,20 ° .
Sendo n m e i o = 1,33 , a nova separação angular vai ser:
Δ θ ' = 0,20 ° 1,33 ≅ 0,15 °
Resposta
Exercício Resolvido #8
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.19.
Em uma figura de interferência com fenda dupla, a intensidade no pico da interferência máxima central é I 0 .
- Qual é a intensidade em um ponto da figura de interferência em que a diferença de fase entre as ondas é 60 °?
- Qual a diferença entre os caminhos de uma luz de comprimento de onda igual a 480 nm proveniente das duas fendas em um ponto em que o ângulo de fase é 60 °?
Passo 1
a )
O problema nos dá a diferença de fase ϕ e nos pede para calcular a intensidade no ponto da figura de interferência correspondente.
Sabemos que a relação entre ϕ e a intensidade na interferência de duas fontes é dada por
I = I 0 cos 2 ϕ 2
Onde ϕ é a diferença de fase. Neste caso, ϕ = 60 ° , logo:
I = I 0 cos 2 60 ° 2
I = I 0 3 2 2
I = 3 4 I 0
Passo 2
b )
A diferença de fase ϕ e a diferença de caminho r 2 - r 1 são relacionados por:
ϕ = 2 π λ r 2 - r 1
Onde:
λ = 480 nm = 4,8 × 10 - 7 m ;
ϕ = 60 ° = π 3 rad ;
Logo:
r 2 - r 1 = ϕ λ 2 π
∆ r = π 3 × 4,8 × 10 - 7 2 π
∆ r = 80 nm
Resposta
a )
I = 3 4 I 0
b )
∆ r = 80 nm
Exercício Resolvido #9
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.23, modificado
Duas fendas distantes 0,260 m m uma da outra, colocadas a uma distância de 0,700 m de uma tela são iluminadas por uma luz coerente de comprimento de onda igual a 660 n m.
A intensidade no centro do máximo central θ = 0 ° é igual a I 0 .
Qual é a distância sobre a tela entre o centro do máximo central e o ponto no qual a intensidade se reduz a I 0 / 2?
Passo 1
Agora o problema nos pede para encontrar o valor de y m para o qual I = I o / 2 .
Sabemos que a intensidade pode ser escrita da seguinte forma:
I = I 0 cos 2 ϕ 2 = I 0 cos 2 π y d λ R
Isso já nos permite resolver o problema, pois temos os valores de d , λ e R .
Passo 2
Temos que:
I = I 0 2 = I 0 cos 2 π y d λ R
cos 2 π y d λ R = 1 2
cos π y d λ R = 2 2
π y d λ R = π 4
y = λ R 4 d
Onde:
λ = 660 n m = 6,6 × 10 - 7 m ;
d = 0,26 m m = 2,6 × 10 - 4 m ;
R = 0,7 m ;
Logo:
y = 0,7 × 6,6 × 10 - 7 4 × 2,6 × 10 - 4
y = 0,44 m m
Resposta
Exercício Resolvido #10
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.11.
Uma luz coerente proveniente de uma lâmpada de vapor de sódio passa através de um filtro que bloqueia tudo e deixa passar um único comprimento de onda.
A seguir ela incide sobre duas fendas separadas por uma distância de 0,460 m m.
Na figura de interferência formada sobre uma tela situada a uma distância de 2,20 m, a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes é igual a 2,82 m m.
Qual é o comprimento de onda?
Passo 1
O problema nos dá o valor da distância entre as fendas d , a distância entre as fendas e o anteparo R e nos diz a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes.
Vale lembrar que as franjas brilhantes referem-se a pontos de interferência construtiva.
Podemos relacionar todas as grandezas dadas pelo problema com o comprimento de onda λ através da equação de y m para interferência construtiva, dada por:
y m = R m λ d
Passo 2
O problema nos diz que a distância entre duas franjas brilhantes adjacentes vale 2,82 m m .
A distância entre as franjas é dada por:
y m + 1 - y m = 2,82 × 10 - 3 m
Portanto:
y m + 1 - y m = R λ d m + 1 - R λ d m = R λ d
Onde:
R = 2,2 m ;
d = 0,46 m m = 4,6 × 10 - 4 m ;
Logo:
λ = 2,82 × 10 - 3 × 4,6 × 10 - 4 2,2
λ = 5,89.10 - 7 m = 589 n m
Resposta
Exercício Resolvido #11
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 107-93.
Duas fendas paralelas são iluminadas com uma luz monocromática cujo comprimento de onda é 500nm. Uma figura de interferência aparece em uma tela situada a uma certa distância das fendas, e a quarta franja escura está a 1,68 c m da franja clara central.
- Qual é a diferença de percurso correspondente à quarta franja escura?
- Qual é a distância na tela entre a franja clara central e a primeira franja clara de cada lado da franja central?
(Sugestão: Os ângulos da quarta franja escura e da primeira franja clara são tão pequenos que tan ( θ ) ≅ sen ( θ ) )
Passo 1
a)
Primeiramente, ele nos pede a diferença de percurso correspondente à quarta franja escura.
Como a franja é escura, ela corresponde a um mínimo de interferência. Como vimos antes, a diferença de percurso para franjas escuras é da por:
r 2 - r 1 = m + 1 2 λ
Para a 4ª franja escura, temos m = 3 (a primeira corresponde a m = 0).
Além disso, temos o comprimento de onda λ = 500 n m = 0,0005 m m.
Substituindo esses valores na nossa expressão, obtemos que a diferença de percurso é:
r 2 - r 1 = 3 + 1 2 λ = 7 2 . 500 = 1750 n m = 1,75 μ m
Passo 2
b)
Temos pelo menos 2 formas de pensar a solução da letra b. A primeira e mais direta é substituir a distância da quarta franja clara na fórmula de distância (para ângulos pequenos), e seguir daí.
y m í n , m = 3 = R 3 + 1 2 λ d
Aí reconhecemos que a distância dos primeiros máximos laterais é R λ d (substituímos m = 1).
A segunda forma é matematicamente igual, mas vamos discorrer um pouco mais sobre o significado das fórmulas.
Passo 3
Primeiro, precisamos lembrar que a distância entre duas franjas clara consecutivas, para pequenos ângulos, é constante e dada por:
Δ y = R λ d
Assim, a distância do máximo central até a quarta franja clara é igual a sua distância até a primeira franja clara, e depois dessa até a quarta franja clara.
Mas como a distância entre franjas clara consecutivas é constante, a distância da primeira franja clara até a quarta franja clara é dada por 3 Δ y (da 1ª pra 2ª, da 2ª pra 3ª e da 3ª pra 4ª são 3 vezes Δ y ).
Já a distância da primeira franja clara até a franja brilhante central é:
y m í n , m = 0 = R 0 + 1 2 λ d = R λ d 1 2 = Δ y 2
Logo, a distância do máximo central até a quarta franja clara é:
y m í n , m = 3 = 3 Δ y + 0,5 Δ y = 3,5 Δ y
Substituindo a distância de 1,68 c m, temos:
Δ y = 1,68 3,5 = 0,48 c m = 4,8 m m
Passo 4
Por fim, note que os primeiros máximos centrais laterais ( m = ± 1) são os próximos depois do central. O central e eles são consecutivos.
Como a distância entre duas franjas brilhantes é igual a distância entre duas franjas claras
y m á x , m = ± 1 = Δ y = 4,8 m m
Mas por que perder tempo pensando a questão dessa forma, se a outra era tão direta?
O interessante de pensar a questão dessa segunda forma é que ela nos lembra de dois pontos importantes (que valem quando os ângulos são pequenos):
- A distância entre duas franjas (brilhantes ou claras) consecutivas é constante;
- A distância entre duas franjas brilhantes consecutivas é igual a distância entre duas franjas claras consecutivas.
Resposta
a)
A diferença de percurso referente à quarta franja escura é 1,75 μ m.
b)
A distância na tela entre a franja clara central e as primeiras franjas claras laterais é 4,8 m m.
Exercício Resolvido #12
Young e Freedman, Física IV Ótica e Física Moderna, 12ª ed, São Paulo: Addison Wesley, 2009, pp 104-35.15.
Uma luz coerente com um comprimento de onda de 600 nm passa por duas fendas muito estreitas e a figura de interferência é vista em um anteparo a 3,0 m das fendas.
A primeira franja brilhante está a 4,84 mm do centro da franja brilhante central.
Em que comprimento de onda da luz a primeira franja escura será vista no mesmo ponto do anteparo?
Passo 1
O problema nos dá o comprimento de onda λ , a distância entre as fendas e o anteparo R , e a posição da primeira franja brilhante y 1 .
O problema nos pede para calcular um comprimento de onda que faça com que a primeira franja escura seja vista no mesmo ponto y 1 .
Os pontos onde encontramos as franjas escuras (mínimos de interferência) sobre o anteparo são dados por:
y m = R λ d m + 1 2
Entretanto, na equação acima nos faltam 2 dados: o comprimento de onda λ (que é o que queremos descobrir) e a distância entre as fendas d .
Para descobrir o valor de d , podemos usar as informações dadas pelo problema, aplicando à equação para franjas brilhantes (máximos de interferência):
y m = R m λ d
Passo 2
Encontrando o valor de d .
Conforme falamos antes, a equação que vai nos ajudar é esta:
y m = R m λ d
Onde:
m = 1 ;
y 1 = 4,84 mm = 4,84 × 10 - 3 m ;
R = 3,0 m ;
λ b = 600 n m = 6,0 × 10 - 7 m ;
Logo:
d = R m λ y m
d = 3,0 × 1 × 6,0 × 10 - 7 4,84 × 10 - 3
d = 0,00037 m = 0,37 mm
Observação: λ b corresponde ao comprimento de onda usado para a situação em que estávamos trabalhando com a franja brilhante.
Passo 3
y m = R λ d m + 1 2
λ = y m d R m + 1 2
Onde:
d = 0,37 mm = 3,7 × 10 - 4 m ;
R = 3,0 m ;
m = 0 → m + 1 2 = 1 2 ;
y 0 = 4,84 mm = 4,84 × 10 - 3 m ;
λ e = 4,84 × 10 - 3 × 3,7 × 10 - 4 3 × 1 2
λ e = 1,194.10 - 6 m = 1194 nm
Observação: λ e corresponde ao comprimento de onda usado para a situação em que estávamos trabalhando com a franja escura.
Resposta
Exercício Resolvido #13
Halliday, Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de física, volume 4: Óptica e Física Moderna, 8ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009, pp 103-34
No experimento de dupla fenda da Fig.35-10, a tela de observação está a uma distância D = 4,00 m, o ponto P está a uma distância y = 20,5 c m do centro da figura de interferência, a distância entre as fendas é d = 4,5 μ m e o comprimento de onda é λ = 580 n m.
- Determine a posição do ponto P na figura de interferência, indicando o máximo ou mínimo em que se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais se encontra.
- Calcule a razão entre a intensidade I P no ponto P e a intensidade I c e n no centro da figura de interferência.
Passo 1
a)
Nesta questão, vamos considerar que os ângulos são suficientemente pequenos. Para ver como isso é válido, note que o ângulo correspondente ao ponto P é dado por
tan ( θ ) = y R = 0,205 m 4 m = 0,05125
O ângulo vai ser:
θ = tan - 1 ( 0,05125 ) ≅ 2,9 °
Que é bem pequenininho.
Passo 2
Usando a aproximação de pequenos ângulos, sabemos que a diferença de fase no ponto P , em múltiplos do comprimento de onda, é de:
ϕ ≅ d ∙ y D ∙ λ
Sendo que o problema nos dá:
A distância entre as fendas é d = 4,5 μ m ;
A distância do ponto P ao centro da figura é y = 20,5 c m ;
A distância da tela de observação é D = 4,00 m ;
O comprimento de onda é λ = 580 n m .
Assim:
ϕ m ú l t i p l o = 4,5.205 ∙ 10 3 4.10 6 ∙ 0,58 ≅ 0,398
Que está entre 0 . λ (o máximo central) e 0,5 . λ (o primeiro mínimo).
De fato, notemos que a posição do primeiro mínimo é
y 0 = D ∙ λ 2 ∙ d
y 0 = 4.10 6 ∙ 0,58 2 ∙ 4,5 ≅ 0,2578 ∙ 10 6 μ m = 25,78 c m
Que está logo depois da posição do ponto P .
Passo 3
b)
A intensidade em um ponto P qualquer é dada por
I P = I c e n cos 2 ϕ 2
Ou seja, a razão I P / I c e n é dada por cos 2 ϕ 2 , onde ϕ é a diferença de fase em radianos:
ϕ = 2 π ∙ ϕ m ú l t i p l o
ϕ 2 = π ∙ ϕ m ú l t i p l o = π . 0,398 ≅ 1,25 r a d
Substituindo, temos:
cos ϕ 2 = 0,315
I p I cen = cos 2 ϕ 2 = 0,315 2 ≅ 0,10
Resposta
a)
O ponto P se encontra entre o máximo central e o primeiro mínimo ( m = 0 para ambos).
b)
A razão entre a intensidade I P no ponto P e a intensidade I c e n no centro da figura é 0,10 (ou seja, I P corresponde a 10 % de I c e n ).
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